离差-变差-方差-标准差-误差-残差-偏差

离差、变差、方差、标准差用于测量一组数据的分散程度，或者说一个指标的波动程度。

1.离差(deviation)：指的是任何一个观测值与平均值之间的差异，计算公式是观测值减去平均值。

eg: 假设我们有一组身高数据，如：160cm, 165cm, 170cm, 175cm, 180cm。我们计算这组数据的[平均值]为170cm。然后我们可以计算每个数据点与平均值之间的离差，比如第一个数据点的离差为-10cm（160-170），第二个数据点的离差为-5cm（165-170），以此类推。

**注意：离差反映了某个“个体”偏离“中央”的程度，但千万不能叫“偏差”**

2.变差(variation)：指的是所有离差的平方和，也就是所有观测值与平均值之间的距离的平方的总和。

eg:上面的变差应该为

$$=(160-170)^2 + (160-170 )^2 + (160-170 )^2 + (160-170 )^2 + (160-170 )^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2$$

注意：变差可被看作是“总的离差”，因为把所有的离差累积起来可以全面反映数据的波动情况。但正如你所见，离差有正有负，求和之后恰好为零，因此数学家只好变通一下，先平方一下(消除负号)，然后再求和。

3.方差(variance, VAR)：指的是变差除以观测个数，也就是离差的平方和的均值。它反映了数据的整体波动程度

eg:上面的方差应该为

$$= ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 5 \\frac{(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2}{5} 5(160-170)2+(160-170)2+(160-170)2+(160-170)2+(160-170)2$$

注意：方差可被看作是“平均变差”，这样可以剔除数据规模的影响，更公平地比较两组数据的波动程度。

4.标准差(standard deviation, SD)：指的是方差的平方根，也就是离差的平方和的均值的平方根。它也反映数据的整体波动程度。

eg:上面的方差应该为
$$= ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 + ( 160 - 170 ) 2 5 \\sqrt{\\frac{(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2+(160-170)^2}{5}} 5(160-170)2+(160-170)2+(160-170)2+(160-170)2+(160-170)2$$

注意：方差和标准差都可以用来比较不同数据集的离散程度，但标准差更容易解释，因为它具有与原始数据相同的量纲。这意味着，如果我们有两个不同的数据集，它们的标准差可以直接用来比较它们的离散程度，而不需要担心数据的量纲不同导致的不确定性。

误差、残差、偏差，它们常被用来刻画数据的拟合程度。

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5.误差(error)：指的是观测值与真实值之间的差异，也就是测量结果与真实情况的偏离程度。

eg：我实际身高168，由于尺子变形或者没看仔细，测出身高是164，那么这个测量就存在误差-4cm=164-168。误差包括系统误差(尺子变形)和随机误差(没看仔细)两部分。

6.残差(residual)：指的是估计值与观测值之间的差异，也就是模型预测结果与实际观测结果的偏离程度。

eg：我实测身高是168，假设我们建立了一个体重与身高的线性回归模型，用体重来预测身高。当我们用这个模型预测我的身高为169时，残差为-1cm=168cm-169cm。就是“残留”下来无法解释的部分。

![在这里插入图片描述](/upload/turndown-pics/20240727/ba690fa615a1994cc96469f4f6de60fd0.png)

6.偏差(bias)：指的是观测值与真实值之间的系统性偏离，或者估计值与观测值之间的系统性偏离。偏差反映的是测量或模型存在一定程度的系统误差。

eg: 假设我们要估计某个班级学生的平均身高。通过对一部分学生进行抽样调查后，我们得出平均身高为160cm。但实际上，由于我们只对一部分学生进行了调查，这个估计值可能存在偏差，即与班级所有学生的真实平均身高存在一定的偏离。这种偏差可能是由于抽样方法、样本容量等因素导致的。

通俗理解，误差反映了“你量的准不准”，残差反映了“你猜的准不准”，偏差说的是，“你量的或猜的总是偏高(或偏低)吗”

2024-07-27 12:42 by admin 42 0

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